GAZETA MATEMATICA SERIA B

O GENERALIZARE A INEGALITĂŢII LUI WILKER

de Maria Elena Panaitopol

În 1989 J.B. Wilker[3] a enunţat:

Propoziţia 1. Avem inegalitatea:

$\left(\frac{sin x}{x} \right)^2 + \frac{tg x}{x} > 2$, pentru $x \in (0,\frac{\pi}{2})$

Inegalitatea a fost demonstrată de J.S. Sumner[2], B.N. Guo[1] şi recent de Ling Zhu[4] .

Vom generaliza enunţul lui Wilker în:

Propoziţia 2. Dacă $1\le\alpha\le2\beta$, avem:

$\left(\frac{sin x}{x} \right)^\alpha$ + $\left(\frac{tg x}{x} \right)^\beta >2$, pentru $x \in (0,\frac{\pi}{2})$

Demonstraţie. Se cunosc şi se demonstrează uşor inegalităţile:

$sin x > x - \frac{x^3}{6} >0$, pentru  $x \in (0,\frac{\pi}{2});$

$tg x > x + \frac{x^3}{3}>0$, pentru $x \in (0,\frac{\pi}{2}).$

Rezultă:

$\left(\frac{sin x}{x} \right)^\alpha >$ $\left(1-\frac{x^2}{6} \right)^\alpha$ şi $\left(\frac{tg x}{x} \right)^\beta > $ $\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^\beta$

Notând $x^2 = y \in (0, \frac{\pi^2}{4})$ rămâne de arătat că:

$f(y)=(1-\left(\frac{y}{6} \right)^\alpha + \left(\frac{y}{3} \right)^\beta -2 \ge 0 $

Avem:

$f'(y)=-\frac{\alpha}{6}$ $\left(1-\frac{y}{6}\right)^{\alpha-1}+$ $\frac{\beta}{3}\left(1+\frac{y}{3}\right)^{\beta-1} \ge -\frac{\alpha}{6}+\frac{\beta}{3} \ge 0$

deci funcţia f este strict crescătoare. Cum $f(0)=0$, rezultă că $f(y) \ge 0$ şi demonstraţia este încheiată.

Pentru $\alpha=2$ şi $\beta=1$ se obţine inegalitatea lui Wilker.

 Bibliografie